William HAUTEKIET - Faculté des Sciences

Titre de la thèse: "Partial modules and comodules of Hopf algebras"
Résumé:
L'introduction des actions partielles de groupes par Exel en 1994 a été le début de beaucoup de développements intéressants dans les théories des C*-algèbres et des systèmes dynamiques, ainsi qu'en théorie des représentations. Les actions partielles peuvent être obtenues par restriction d'une action d'un groupe sur un ensemble à un sous-ensemble quelconque. Les représentations partielles (ou modules partiels) d’algèbres de Hopf généralisent cette notion. Elles satisfont des axiomes qui sont plus faibles que l'axiome d'associativité mixte usuel pour les modules. Les comodules partiels sont définis de façon duale et on peut les voir comme une généralisation des algèbres graduées. 
Le premier objectif de cette dissertation est le développement de techniques pour la construction de modules et comodules partiels pour de grandes classes d'algèbres de Hopf, comme les algèbres de Hopf connexes, cocommutatives et semi-simples. Le deuxième but est l'étude des propriétés des catégories de modules et comodules partiels dans leur entièreté. 
Cette thèse est composée de trois parties. Dans la première, on étudie les représentations partielles de groupes qui sont globales sur un grand sous-groupe. Cette approche permet d'obtenir des formules explicites pour décrire les objets irréductibles, ce qui n'est pas possible dans le cas général, car la complexité grandit rapidement par rapport à l'ordre du groupe. 
La deuxième partie est dédiée aux modules partiels des algèbres de Hopf. Dans le Chapitre 2, nous montrons que les algèbres de Hopf connexes ne possèdent aucune représentation partielle qui n'est pas globale. Ce résultat montre que les représentations partielles contiennent de l'information sur à la fois la structure d'algèbre et de coalgèbre de l'algèbre de Hopf, contrairement au cas global. Dans le Chapitre 3, nous considérons une action naturelle de la catégorie des modules globaux sur la catégorie des modules partiels. Cette action catégorique permet une nouvelle perspective sur la globalisation de modules partiels. 
La troisième partie traite les comodules partiels. On donne une construction générale pour les comodules partiels d'algèbres de Hopf au Chapitre 4. Notre construction produit tout comodule partiel de dimension 1, et si H est une algèbre de groupe finie, on décrit en détail quand les comodules construits sont simples ou isomorphes entre eux. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on démontre que la catégories de comodules partiels est comonadique sur les espaces vectoriels. Ainsi, on peut la voir comme une catégorie de comodules d'une comonade, qu'on construit explicitement en utilisant des espaces vectoriels et des coalgèbres topologiques.