ARC: projet de recherche "Algèbre"

Dans ce projet, les chercheurs étudieront plusieurs questions liées en algèbre et en géométrie, en combinant des techniques de la combinatoires et de la théorie des catégories.

En géométrie algébrique, on étudie des « espaces algébriques », qui sont des objets géométriques complètement décrits par leurs « algèbres à coordonnées ». Les propriétés géométriques de l’espace considéré peuvent dès lors être traduites en propriétés algébriques de l’algèbre associée.

L’avantage de cette approche est que dans ce cadre algébrique, toute une série de nouveaux outils est disponible, ce qui n'est pas le cas dans le contexte purement géométrique.
Par exemple, si l’espace initial contient des « singularités » (des points qui n’ont pas de plan tangent dans le sens classique), il peut être utile de considérer des « algèbres non-commutatives », qui sont des algèbres n’apparaissant pas comme des algèbres à coordonnées à partir d’objets géométriques dans le sens classique, mais qui permettent de « résoudre » ces singularités d’une manière qui peut être définie précisément.

La première partie du projet concerne de telles « résolutions non-commutatives (crépantes) ».
En incorporant la correspondance mentionnée plus haut entre les « espaces algébriques » et les « algèbres commutatives », à toute algèbre (possiblement non-commutative), on peut associer sa « catégorie de représentation » et interpreter cela comme un objet géométrique.

Dans ce projet, les chercheurs comptent aller plus loin et étudier les catégories de « représentations partielles », en particulier de groupes finis et de groupes algébriques. De même que les groupes apparaissent naturellement en géométrie comme décrivant des symétries, les actions partielles et leurs représentations décrivent de manière similaire des symétries qui ne sont pas définies de manière globale, ce qui permet d’étudier plus en profondeur la structure interne de l’objet géométrique concerné, comme par exemple pour les polytopes.


Coordinateur : Joost Vercruysse, Département de mathématique, Faculté des Sciences
Partenaires : Michele D’Adderio, Dimitri Leemans, Spela Spenko