Topics in the analysis of partial differential equations

La théorie de l'homogénéisation vise à décrire le comportement à grande échelle des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) à coefficients hétérogènes. On s'attend typiquement à ce que les hétérogénéités des coefficients se moyennent en quelque sorte à grande échelle et à ce que les solutions hétérogènes puissent être approchées par les solutions de problèmes effectifs "homogénéisés". Ceci peut être vu comme une loi des grands nombres pour les EDP hétérogènes, et il s'agit également d'en caractériser les déviations. La motivation principale provient de l'étude mathématique des propriétés des matériaux composites.

Du point de vue mathématique, ces questions donnent lieu à un subtil mélange d'analyse des EDP et de probabilités: il s'agit d'étudier comment les propriétés statistiques des coefficients d'une équation se transmettent à l'opérateur solution. La question est non triviale comme l'opérateur solution dépend des coefficients de façon non linéaire et non locale.

Dans ce cours, après une introduction à la théorie qualitative de l'homogénéisation stochastique, nous nous concentrerons sur la théorie quantitative optimale qui a été développée au cours de la dernière décennie dans le cadre modèle d'équations elliptiques linéaires à coefficients hétérogènes. L'objectif sera de donner une présentation générale des idées fondamentales de cette nouvelle théorie et de fournir des preuves autonomes des résultats optimaux dans le cadre probabiliste le plus simple. Nous nous appesantirons en particulier sur le rôle central de la théorie de régularité elliptique à grande échelle, qui formalise comment des EDP hétérogènes peuvent hériter à grande échelle des propriétés de régularité bien meilleures de leurs versions homogénéisées.

Cours co-requis

Cours magistral

Contacts

Mitia Duerinckx <mitia.duerinckx@ulb.be>

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Présentation orale

Présentation orale

Langue(s) d'évaluation

• français
• (éventuellement anglais )