Mathématiques 2

Le cours est divisé en deux parties (Q1 et Q2).

Partie 1 (Q1):

1) Calcul des probabilités (défintions, propriétés élémentaires, probabilité uniforme, conditionnelle, indépendance); 
2) Variables aléatoires (motivation et défintion; v.a. discrètes, v.a. continues, espérances, variances et autres moments);
3) Modèles aléatoires (expériences fondamentales, modèles aléatoires discrets, modèles aléatoires continus),
4) Modèles multivariés (fonctions jointes de masse, densité et répartition, lois marginales, lois conditionnelles, indépendance, espérances de vecteurs aléatoires, espérance conditionnelle); 
5) Quelques théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème central limite).​​​​​​

Partie 2 (Q2):
1) Les espaces numériques et les matrices  (combinaisons linéaires, factorisations matricielles);
2) Les espaces vectoriels et les applications linéaires (indépendance linéaire, bases, noyau, espace colonnes, les changements de base, les applications linéaires);
3) Les espaces euclidiens (distances et produits scalaires, clustering, bases orthonormées, le procédé de Gram-Schmidt, matrice transposée et matrices symétriques);
4) Les moindres carrés (motivation et définition, la solution des moindres carrés, l’ajustement de courbe);
5) Les valeurs propres (motivation, définition, calcul, propriétés, matrices commutantes, le quotient de Rayleigh, applications);
6) La décomposition en valeurs singulières (définition, propriétés, meilleure approximation de rang k, applications);
7) Les suites (définition, exemples, convergence, récurrences, les points fixes);
8) Les séries (définition, exemples, les séries de puissances, les séries exponentielles, géométriques et binomiales, la manipulation pratique des séries de puissances).

L'objectif du cours est d'enseigner aux étudiants et étudiantes les bases du calcul des probabilités, ainsi que les rudiments d'algèbre linéaire et d'étude des suites et séries, qui leur seront utiles dans leurs futurs cours de biologie. En particulier :

Partie 1 (Q1) : À l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de :

1) Calculer des probabilités dans un environnement univarié, discret et continu ;
2) Utiliser le théorème de Bayes et la loi des probabilités totales afin de calculer les probabilités d'événements dépendants ;
3) Calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires discrètes et continues dans un environnement univarié ;
4) Attribuer une loi de probabilité à des événements du monde réel, afin de calculer les probabilités et moments correspondants ;
5) Calculer des probabilités dans un environnement multivarié, discret et continu ;
6) Calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires discrètes et continues dans un environnement multivarié ;
7) Utiliser la loi des espérances itérées et l'appliquer à des sommes stochastiques ;
8) Identifier les applications de la loi des grands nombres et du théorème central limite.

Partie 2 (Q2): A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de

1) comprendre l'intérêt des espaces numeriques en sciences et sciences appliquées;
2) vérifier l'indépendance linéaire et de calculer des bases associées aux sous-vectoriel fondamentaux d'une matrice;
3) comprendre l'intérêt d'une distance dans Rⁿ, par exemple pour le clustering de données;
4) de calculer la solution au moindres carrés d'un système incohérent et de l'appliquer à l'ajustement de courbe;
5) de calculer les valeurs et les vecteurs propres d'une matrice de petite taille;
6) de comprendre l'intérêt des valeurs singulières en sciences;
7) de déterminer la convergence ou non d'une suite;
8) de manipuler les series de puissances.

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Les matières abordées dans MATHF112 - Mathématiques I. Mathématiques générales (fractions, nombres réels, fonctions, dérivées, intégrales)

Cours pré-requis

Cours ayant celui-ci comme pré-requis

Partie 1 & 2 (Q1 & Q2): cours théorique et séances d'exercices dirigés

Contribution au profil d'enseignement

Apprendre les mathématiques avancées nécessaires aux cours de biologie.

Références, bibliographie et lectures recommandées

Partie 1 (Q1) : syllabus de la partie 1 en vente aux PUB sous le mnémonique MATHF315 et disponible en version pdf sur l’UV.
Partie 2 (Q2) : syllabus de la partie 2 en vente aux PUB et disponible en version pdf sur l’UV.

Support(s) de cours

• Université virtuelle
• Syllabus

Informations complémentaires

 

Contacts

Pour la partie 1 (Q1): Jennifer Alonso Garcia, mail :  Jennifer.Alonso.Garcia@ulb.be ; bureau: campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O9.116

Pour la partie 2 (Q2): Ignace Loris, mail/Teams : Ignace.Loris@ulb.be ; bureau: campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O7.107

Campus

Plaine

Méthode(s) d'évaluation

• Examen écrit

Examen écrit

• Question ouverte à réponse courte
• Question ouverte à développement long
• Question fermée à Choix Multiple (QCM)
• Question visuelle
• Question fermée Vrai ou Faux (V/F)

Partie 1 (Q1) : un examen écrit en janvier pour la partie 1. Dans certains cas très particuliers (force majeure, session ouverte, ...) l'examen écrit peut être remplacé par un examen oral.

Partie 2 (Q2) : un examen écrit en juin pour la partie 2. Dans certains cas très particuliers (force majeure, session ouverte, ...) l'examen écrit peut être remplacé par un examen oral.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Langue(s) d'évaluation

• français