Compléments de mathématiques

Contenu du cours

1) La transformation de Legendre, le différentiel et la dérivation implicite

2) Les systèmes dynamiques (la modélisation, le plan des phases, systèmes linéaires et non linéaires, systèmes hamiltoniens, le théorème de Liouville)

3) Représentations de fonctions par série entière ou par intégrale

4) Solutions d’équations différentielles en termes de séries et d’intégrales (changement de variable, symétries, la méthode de Frobenius)

5) Les espaces hilbertiens (les fonctions de carré sommable, les bases orthonormales, les opérateurs linéaires, les valeurs/vecteurs propres, les opérateurs commutants)

6) Les séries de Fourier (les fonctions périodiques, le réseau et le réseau réciproque (aussi en 3D), les séries de Fourier, propriétés, convergence, forme réelle, les symétries interdites d’un réseau périodique, le calcul numérique)

7) La transformation de Fourier (Définition, propriétés, interprétation, la gaussienne, la formule d’inversion, l’échantillonnage, relation avec séries de Fourier, la convolution)

8) Les équations aux dérivées partielles et la diffusion (l’opérateur laplacien, l’équation de la chaleur, la solution fondamentale, la séparation des variables)

9) Les polynômes d’Hermite et l’oscillateur harmonique quantique (polynômes et fonctions d'Hermite, propriétes)

10) Les fonctions harmoniques sphériques (le laplacien en coordonnées sphériques, les fonction harmoniques sphériques, fonctions propre du laplacien angulaire, parité, relations de récurrence, les polynômes de Legendre)

11) L’atome d’hydrogène en mécanique quantique (les polynômes de Laguerre, l’équation de Schrödinger, le potentiel central, la solution complète)

Objectifs (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques)

A l’issue de cette unité d’enseignement, un étudiant sera capable de
1) comprendre et manipuler la transformation de Legendre, le différentiel et la dérivation implicite
2) modéliser une évolution temporelle par un système dynamique, résoudre un système dynamique linéaire, comprendre le plan de phase et le théorème de Liouville
3) manipuler les séries de puissances (exponentielle, géometrique, binomiale)
4) comprendre la méthode de Frobenius
5) vérifier si certaines si une fonction est une fonction propres d'un opérateur
6) écrire la série de Fourier d'une fonction simple, dessiner un réseau et le réseau réciproque en 2D
7) manipuler quelques intégrales de Fourier et dessiner quelques transformées simples en 2D
8) comprendre la notion de laplacien, et la description mathématique de la diffusion
9) manipuler les polynômes d'Hermite
10) utiliser les harmoniques sphériques et les polynômes de Legendre
11) séparer les variables dans l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques

Pré-requis et Co-requis

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Mathématiques générales (coordonnées cartésiennes, fonctions, dérivées, intégrales, matrices, déterminants)

Cours pré-requis

Cours ayant celui-ci comme co-requis

Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages

Cours théorique et séances d'exercices dirigés.

Contribution au profil d'enseignement

– Acquérir, assimiler et exploiter des savoirs de base en mathématiques, physique, chimie, biologie et sciences de la terre

– Développer des savoirs transversaux

– Collecter, analyser et synthétiser les connaissances

– Identifier les problèmes et formuler des questions scientifiques

– Résoudre des problèmes

– Faire preuve d’ouverture intellectuelle

Références, bibliographie et lectures recommandées

Syllabus en vente aux PUB et disponible en version pdf sur l’UV. Ce syllabus contient une bibilographie détaillée.

Support(s) de cours

Syllabus
Université virtuelle

Autres renseignements

Informations complémentaires

Contacts

Prof. Ignace Loris: Ignace.Loris@ulb.be, local 2.O.7.107, Teams, ...

Campus

Plaine

Evaluation

Méthode(s) d'évaluation

Examen écrit

Examen écrit

Question ouverte à réponse courte
Question ouverte à développement long
Question fermée à Choix Multiple (QCM)
Question visuelle
Question fermée Vrai ou Faux (V/F)

Un examen intégré de la théorie et des exercices. Exceptionnellement (pandémie, session ouverte, ...) l'examen écrit pourrait être remplacé par un examen oral.

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Une note sur 20 sera donnée à l'issue de l'examen écrit.

Langue(s) d'évaluation

français

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