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Optimisation
Titulaire(s) du cours
Ignace LORIS (Coordonnateur)Crédits ECTS
5
Langue(s) d'enseignement
français
Contenu du cours
1) Introduction à la géométrie convexe (ensembles convexes, projection, séparation, cônes, ...)
2) La programmation linéaire (définition, exemples, forme standard, points extrêmes et solutions de base, l’algorithme du simplexe, dualité, écarts complémentaires, sensitivité, applications: le transport optimal, théorème du minimax, théorème du flot-max/coupe-min, ...)
3) Introduction à l'analyse convexe (fonctions convexes, épigraph, caractérisations, propriétés, le sous-différentiel, ...)
4) La transformation de Fenchel (motivation, définition, exemples, propriétés, la dualité Fenchel, ...)
5) La programmation non linéaire (problèmes sans contraintes, problèmes avec contraintes, les conditions de Karush-Kuhn-Tucker, conditions du second ordre, application à la commande optimale, ...)
6) La dualité Lagrangienne (le Lagrangien, le problème dual, les conditions de Slater, les points de selle, interprétation des multiplicateurs de Lagrange, application: le meilleur hyperplan séparant deux ensembles de points,...)
Objectifs (et/ou acquis d'apprentissages spécifiques)
1) comprendre et d'utiliser les propriétés des ensembles et des fonctions convexes
2) modeliser des problèmes en termes de programmes linéaires
3) résoudre des programmes linéaires simples à l'aide de l'algorithme du simplexe
4) comprendre et de calculer des transformées de Fenchel
5) transformer certains problèmes convexes en version duale
6) formuler les conditions KKT de problèmes non linéaires
7) écrire le Lagrangien et le problème dual correspondant à un problème avec contraintes
8) identifier certains problèmes dans d'autre disciplines comme problème d'optimisation
Pré-requis et Co-requis
Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises
cours d'analyse (continuité, différentiabilité, fonctions à plusieurs variables, gradient, ensembles ouverts/fermés/compacts...) et d'algèbre linéaire (espaces vectoriels, matrices, produits scalaires, ...)
Cours pré-requis
Méthodes d'enseignement et activités d'apprentissages
Cours ex-cathedra et exercices dirigés
Contribution au profil d'enseignement
1. Acquérir et exploiter un savoir
1.1. S'approprier les concepts fondamentaux en mathématique.
1.2. Assimiler les notions de base en algèbre, analyse, géométrie.
1.3. Analyser, synthétiser et relier les connaissances et les différentes branches des mathématiques.
1.4. Maîtriser les principes du raisonnement logique et être capable de fonder sur ceux-ci une argumentation sans faille.
1.6. Identifier un cadre mathématique sous-jacent à un problème donné.
1.7. Se familiariser à diverses méthodes de modélisation.
2. Comprendre les spécificités de la démarche scientifique et la pratiquer
2.1. Comprendre des critères de rigueur, une argumentation, des techniques de démonstration.
2.4. Comprendre un processus d'études de données et de modélisation.
2.5. Comprendre le rôle parfois simplificateur du processus de généralisation d’une théorie.
2.6. Comprendre l’intérêt de l’unification de théories existantes.
2.7. Identifier des questions qui se posent au sein d’une théorie.
2.8. Explorer les conséquences d’un résultat mathématique.
3. Communiquer
3.3. Utiliser un langage clair et rigoureux, adapté au public-cible.
4. Ethique et relation avec la société
4.3. Apprendre à pratiquer l’autocritique relativement à la validité d’un argument.
Références, bibliographie et lectures recommandées
R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.
J. B. Hiriart-Urruty and C. Lemarechal. Convex analysis and minimization algorithms. Springer, 1993.
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
Dimitri P. Bertsekas. Convex Optimization Theory. Athena Scientific, 2009.
Jorge Nocedal and Stephen J. Wright. Numerical Optimization. Springer, 2 edition, 2006.
Amir Beck. Introduction to nonlinear optimization. SIAM, 2014.
Support(s) de cours
- Syllabus
- Université virtuelle
Autres renseignements
Informations complémentaires
Un syllabus (pdf) est disponible sur l'UV.
Contacts
mail (Ignace.Loris@ulb.be), rdv Teams ou en personne au bureau du titulaire (campus Plaine, bâtiment NO, local 2.O7.107)
Campus
Plaine
Evaluation
Méthode(s) d'évaluation
- Examen écrit
Examen écrit
- Question ouverte à réponse courte
- Question ouverte à développement long
- Question fermée à Choix Multiple (QCM)
- Question visuelle
- Question fermée Vrai ou Faux (V/F)
Un seul examen écrit portant sur les exercices et la théorie
Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)
Il n'y a pas de notes partielles.
Langue(s) d'évaluation
- français