Analyse II

Partie 1 (Analyse 2A): Introduction à la logique formelle: propositions, tautologies, prédicats. Techniques de preuve. Suites et séries de nombres, de vecteurs et de fonctions. Convergence simple, absolue, uniforme, en moyenne quadratique et en norme supremum. Intégrales généralisées: convergence et dérivation de fonctions définies par des intégrales généralisées.
Equations différentielles linéaires régulières d'ordre n: wronskien de n solutions de l'EDLH, solution générale, problèmes de Cauchy, résolution si les coefficients sont constants. Systèmes différentiels linéaires, solution générale, résolution si les coefficients sont constants et la matrice diagonalisable. Surfaces et intégrales de surface. Analyse vectorielle: div, grad, rot et théorèmes de Green, Stokes, Ostrogradski.

Partie 2 (Analyse 2B):  Séries de Fourier: propriétés, convergences et applications.
Problèmes  aux limites, problèmes aux valeurs et fonctions propres pour des EDL, fonction de Green. Introduction aux équations aux dérivées partielles (EDP) quasi-linéaires, classification, courbes caractéristiques, changements de variables. EDP des ondes, de la chaleur, de Laplace et de Poisson. Problèmes de Dirichlet, de Neumann, avec ou sans condition initiales, problèmes bien posés.

Etudier l'analyse mathématique, qui est un langage et un outil indispensable pour modéliser et résoudre des problèmes. Les thèmes principaux sont les équations différentielles et aux dérivées partielles (qui interviennent dans la plupart des modélisations), les suites et les séries (qui apparaissent lorsqu'on calcule des approximations).

Compétences spécifiques à ce cours (d'après le référentiel de compétences de l'Ecole polytechnique de Bruxelles):

• Savoir/Faire preuve d'expertise dans le domaine des sciences mathématiques.
• Formuler avec précision et analyser des problèmes complexes.
• Adopter une démarche scientifique appliquée au problème posé.
• Innover: élaborer des solutions pour des problèmes "non standard".
• Mettre en œuvre des solutions: aller jusqu'au bout de la résolution.
• Maîtriser la communication scientifique: rédiger ses raisonnements avec rigueur et précision.
• Etre un professionnel critique, réflexif et autonome: rester toujours très critique dans ses raisonnements et quant à la validité des méthodes utilisées.

Connaissances et compétences pré-requises ou co-requises

Le cours Analyse 2 (MATHH2000) s'appuie sur Analyse 1 (MATHH1002) et Analyse 0 (dans MATHH1001) et en est la continuation.
Analyse 2 utilise beaucoup l'Algèbre linéaire et la Géométrie (MATHH1003). 
 

Cours co-requis

Cours ayant celui-ci comme pré-requis

Cours ayant celui-ci comme co-requis

L'apprentissage comprend une présence active au cours (prise de notes, réflexion, questionnement...) et aux séances d'exercices, complétée par un travail personnel régulier important.

• Cours: exposés axés sur une approche visuelle (présentations Beamer associée à des notes, figures et développements au tableau), présentation soucieuse de développer une bonne intuition et une bonne compréhension d'une matière difficile et abstraite par nature.
• Séances d'exercices suivant le cours, destinées à la fois à aider à la compréhension de celui-ci, à l'assimilation des concepts impliqués, à la maîtrise de techniques de calcul et au développement de démarches et méthodes de résolution de problèmes..

Contribution au profil d'enseignement

Résoudre concrètement des problèmes techniques et scientifiques complexes en mobilisant un large spectre de connaissances dans le domaine des sciences et techniques :

• collecter, analyser et synthétiser les connaissances,
• faire preuve d'expertise et de polyvalence dans le domaine des sciences et techniques en mobilisant des connaissances pour résoudre un problème,
• assimiler facilement et rapidement de nouveaux concepts.

Références, bibliographie et lectures recommandées

• T. Tao: Analysis II, Hindustan Book Agency, India, 2006.
• W.E. Boyce and R.C. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems, Wiley, New York, 1991 (en français: W.E. Boyce et R.C. Di Prima: Equations différentielles, Chenelière Education, 2006).
• G.F. Simmons: Differential equations with applications and historical notes, McGraw-Hill, 2017.
• W.A. Strauss: Partial differential equations, Wiley, New York, 2008.

Support(s) de cours

• Syllabus
• Université virtuelle

Contacts

Prof. (Analyse 2A): Thomas Lessinnes : Thomas.Lessinnes@ulb.be
Prof. (Analyse 2B): Jérémie Roland: Jeremie.Roland@ulb.be

Campus

Solbosch

Méthode(s) d'évaluation

• Examen écrit

Examen écrit

Examen partiel écrit en janvier "Analyse 2A" et examen partiel écrit en mai ou en juin "Analyse 2B" . Voir « modalités d'examens … » sur l'UV. Les épreuves sont écrites et portent tant sur la théorie que la pratique.
Deux examens partiels de seconde session en août suivant les mêmes modalités qu'en première session (un examen partiel pour chacune des deux parties, avec dispense possible d'un des examens en cas de note supérieure ou égale à 10/20 pour la partie concernée).

Construction de la note (en ce compris, la pondération des notes partielles)

Moyenne arithmétique des notes des examens partiels d'Analyse 2A et Analyse 2B, arrondie au demi-entier le plus proche.
En cas de non-acquisition des crédits lors d'une session d'examen, toute note partielle (Analyse 2A ou Analyse 2B) supérieure ou égale à 10/20 sera automatiquement reportée à la session suivante. Les notes strictement inférieures à 10/20 ne seront en aucun cas reportées.
Pour plus de détails, voir le document "Construction de la note" sur l'UV.

Langue(s) d'évaluation

• français